Pubblicato da: Agos | 2 maggio 2008

L’angolo della matematica! D&D edition

Ovvero, la rubrica preferita da me… e basta.

Innanzitutto, sigla – è sempre bellissima!

Oggi parleremo di Dungeons and Dragons e algebra lineare, due argomenti sicuramente molto di moda.
Alcune statistiche:

Difficoltà: ∫∫ (non troppo difficile se si ricorda un po’ di matematica del liceo)

Soldi: ¥¥ (media, le miniature non sono proprio regalate)

Figaggine: ☑ (minima, siamo a livelli di nerdità assoluti)

Tempo: ⌚⌚ (non corto, ma squisitamente elegante)

Nella 4ª edizione di D&D il sistema di combattimento è stato semplificato, soprattutto grazie all’uniformazione del sistema metrico: non più strani arrotondamenti (1 quadretto = 1,5 m = 5 ft — WTF?), ma uno standard ben verificato.
Salvatore (il DM), controllando le regole, si è però accorto di una certa bizzarria: per ovviare al classico problema dell’incommensurabilità della diagonale del quadrato con il suo lato, WotC ha deciso che tutte le diagonali sono lunghe esattamente come il lato ai fini del calcolo di movimento ed aree (ad es. soffi, palle di fuoco).
Questo, commentava Salvatore, ha il bizzarro effetto di rendere la palla di fuoco… cubica! Questo ovviamente confonderà tanti giovani che, irrimediabilmente corrotti nei loro più intimi sentimenti, abbandoneranno lo studio della matematica e/o i giochi di ruolo; ma noi lo impediremo, grazie al potere della matematica!

L’idea mi è venuta sotto la doccia (come al solito), mentre ripensavo a quello che avevo appena studiato — ma partiamo con un po’ di fondamenti, partendo con l’esempio dell’edizione 3.5.

La norma è un operatore matematico che assegna ad ogni vettore di uno spazio vettoriale una grandezza comunemente detta lunghezza o dimensione – questa grandezza dovrà anche possedere specifiche proprietà, per ora non necessarie.Norma euclidea
Per chi ha memoria di geometria analitica, la normale definizione di distanza dall’origine di un qualsiasi punto è un ottimo esempio (vedi figura a destra).

Più familiare risulterà ai miei cinque lettori la nozione di distanza (o metrica), strettamente imparentata con quella di norma e che ci permette, con la scelta di un appropriato insieme, di introdurre il concetto di spazio metrico.Metrica Euclidea

Per fare un esempio pratico, possiamo scegliere come esempio l’insieme dei numeri reali e definire la distanza tra due elementi come la loro differenza, o scegliere l’insieme dei punti di un piano (come quello su cui si muovono le miniature) e come metrica l’usuale distanza euclidea (nella figura sopra), derivata dal celeberrimo teorema di Pitagora.

È importante notare che la definizione di norma e metrica non è in alcun modo unica – già per la distanza ho dato due esempi diversi, ed ulteriori definizioni possono essere date (ad es. il modulo di numeri complessi); gli esempi presentati sono solo le definizioni più comuni (corrispondono infatti alla nostra percezione dello spazio).
Date queste premesse, per spiegare il poco intuitivo sistema della 4ª edizione è sufficiente introdurre la norma infinito (o norma uniforme), e la corrispondente metrica, la distanza di Chebyshev (entrambe in figura).

Norma e distanza di Chebyschev

 

 

 

Con l’appropriata scelta della definizione di distanza tutto torna a funzionare: l’insieme di punti ad una data distanza da un centro diventa quadrata, la palla di fuoco diventa un cubo di fuoco, ed il cubo gelatinoso resta cubico.
“Non staremo forzando un po’ le cose?” — diranno subito i miei piccoli lettori. Il dubbio è lecito, e ridefinire la distanza può sicuramente sembrare un’operazione esagerata, che ci allontana da una visione “classica” dello spazio. Dobbiamo però innanzitutto ricordare che stiamo parlando di Dungeons & Dragons, quindi di un modello semplificato di realtà (ad essere precisi credo si tratti di un metamodello, ma divago), basti pensare all’innaturale quantizzazione del tempo (i turni) o dello spazio (solo Lara Croft si muoverebbe a botte di caselle!). Se questo non bastasse a convincere gli scettici, sappiano che la distanza di Chebyshev è anche detta distanza della scacchiera, in quanto rappresentativa del numero di mosse minimo che serve al re degli scacchi per muoversi tra due punti; mutatis ludis, si tratta proprio dello stesso esempio! Come prezioso effetto collaterale, adesso abbiamo anche un elegantissimo metodo per calcolare più facilmente le distanze nel nuovo sistema, e sappiamo anche che Chebyschev faceva il DM e Liapunov probabilmente il druido.

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Responses

  1. Ma sei semplicemente un mito. Bellissimo questo post. Va direttamente in bacheca!

    sappiamo anche che Chebyschev faceva il DM e Liapunov probabilmente il druido.

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  3. prima di tutto sei un genio!! secondariamente.. accetti discepoli!?! e per finire.. sei un genio!!


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